2020년09월26일 76번
[고급통계처리및분석] t-분포와 F-분포의 성질에 대한 설명으로 옳은 것은?
- ① 자유도가 k인 t-분포의 제곱은 F(k, 1)분포와 동일하다.
- ② F1-α(k1, k2) = 1/Fα(k2, k1)이 성립한다.
- ③ t-분포와 F-분포는 통상적으로 오른쪽으로 꼬리가 긴 분포이다.
- ④ Z~N(0, 1), V~χ2(r)이고, Z와 V가 독립일 때, Z/√V는 자유도가 r인 t-분포를 따른다.
(정답률: 알수없음)
문제 해설
정답은 "F1-α(k1, k2) = 1/Fα(k2, k1)이 성립한다." 이다.
- 자유도가 k인 t-분포의 제곱은 F(k, 1)분포와 동일하다. : t-분포의 제곱은 자유도가 1인 카이제곱 분포를 따르므로, 이를 F분포로 일반화한 것이 F(k, 1)분포이다.
- t-분포와 F-분포는 통상적으로 오른쪽으로 꼬리가 긴 분포이다. : t-분포와 F-분포는 모두 분산 추정 등에서 사용되는 분포로, 표본 크기가 작을 때는 정규분포를 따르지 않아서 꼬리가 더 길어지는 경향이 있다. 하지만, 이는 일반적인 경향성일 뿐이며, 항상 그렇지는 않다.
- Z~N(0, 1), V~χ2(r)이고, Z와 V가 독립일 때, Z/√V는 자유도가 r인 t-분포를 따른다. : 이는 t-분포의 정의이다.
따라서, F분포의 성질 중에서 F1-α(k1, k2) = 1/Fα(k2, k1)이 성립하는 것은 F분포의 대칭성에 따른 결과이다. F분포는 두 개의 카이제곱 분포의 비율로 정의되는데, 이 때 분모와 분자의 자유도를 바꾸면 분포의 형태는 그대로 유지되지만, 분포의 값이 반대로 뒤집히게 된다. 이러한 대칭성 때문에 F1-α(k1, k2) = 1/Fα(k2, k1)이 성립하게 된다.
- 자유도가 k인 t-분포의 제곱은 F(k, 1)분포와 동일하다. : t-분포의 제곱은 자유도가 1인 카이제곱 분포를 따르므로, 이를 F분포로 일반화한 것이 F(k, 1)분포이다.
- t-분포와 F-분포는 통상적으로 오른쪽으로 꼬리가 긴 분포이다. : t-분포와 F-분포는 모두 분산 추정 등에서 사용되는 분포로, 표본 크기가 작을 때는 정규분포를 따르지 않아서 꼬리가 더 길어지는 경향이 있다. 하지만, 이는 일반적인 경향성일 뿐이며, 항상 그렇지는 않다.
- Z~N(0, 1), V~χ2(r)이고, Z와 V가 독립일 때, Z/√V는 자유도가 r인 t-분포를 따른다. : 이는 t-분포의 정의이다.
따라서, F분포의 성질 중에서 F1-α(k1, k2) = 1/Fα(k2, k1)이 성립하는 것은 F분포의 대칭성에 따른 결과이다. F분포는 두 개의 카이제곱 분포의 비율로 정의되는데, 이 때 분모와 분자의 자유도를 바꾸면 분포의 형태는 그대로 유지되지만, 분포의 값이 반대로 뒤집히게 된다. 이러한 대칭성 때문에 F1-α(k1, k2) = 1/Fα(k2, k1)이 성립하게 된다.
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